Bibliogr. s. XII-XIII. Indeks s. 363-369.

ROZDZIAŁ 1. PRZESTRZENIE I FORMY. §1. Abstrakcyjne przestrzenie liniowe. 1. Motywacja i aksjomatyka. 2. Powłoki liniowe. Podprzestrzenie. 3. Uwagi o interpretacji geometrycznej. Ćwiczenia. §2. Wymiar i baza. 1. Liniowa zależność. 2. Wymiar i baza przestrzeni liniowej. 3. Współrzędne. Izomorfizm przestrzeni. 4. Część wspólna i suma algebraiczna podprzestrzeni. 5. Sumy proste. 6. Przestrzenie ilorazowe. Ćwiczenia. §3. Przestrzeń dualna. 1. Formy liniowe. 2. Przestrzeń dualna i baza dualna. 3. Refleksywność. 4. Kryterium liniowej niezależności. 5. Interpretacja geometryczna rozwiązań układów liniowych jednorodnych. Ćwiczenia. §4. Formy dwuliniowe i kwadratowe. 1. Odwzorowania wieloliniowe. 2. Formy dwuliniowe. 3. Transformacja macierzy formy dwuliniowej. 4. Formy symetryczne i antysymetryczne. 5. Formy kwadratowe. 6. Postać kanoniczna formy kwadratowej. 7. Formy kwadratowe rzeczywiste. 8. Formy i macierze dodatnio określone. 9. Postać kanoniczna formy antysymetrycznej. 10. Pfaffian. Ćwiczenia. ROZDZIAŁ 2. OPERATORY LINIOWE. §1. Przekształcenia liniowe przestrzeni liniowych. 1. Język przekształceń liniowych. 2. Macierz przekształcenia liniowego. 3. Wymiar jądra i obrazu. Ćwiczenia. §2. Algebra operatorów liniowych. 1. Definicje i przykłady. 2. Algebra operatorów. 3. Macierze operatora liniowego w różnych bazach. 4. Wyznacznik i ślad operatora liniowego. Ćwiczenia. §3. Podprzestrzenie niezmiennicze i wektory własne. 1. Rzuty. 2. Podprzestrzenie niezmiennicze. 3. Wektory własne. Wielomian charakterystyczny. 4. Kryterium diagonalizowalności. 5. Istnienie podprzestrzeni niezmienniczych. 6. Operator sprzężony. 7. Operator ilorazowy. Ćwiczenia. §4. Postać kanoniczna Jordana. 1. Twierdzenie Hamiltona–Cayleya. 2. Postać kanoniczna Jordana: twierdzenie i wnioski. 3. Podprzestrzenie pierwiastkowe. 4. Przypadek operatora nilpotentnego. 5. Jednoznaczność. 6. Inne podejścia do PKJ. 7. Inne postaci normalne. Ćwiczenia. ROZDZIAŁ 3. PRZESTRZENIE LINIOWE Z ILOCZYNEM SKALARNYM. §1. Przestrzenie euklidesowe. 1. Rozważania heurystyczne i definicje. 2. Podstawowe pojęcia metryczne. 3. Ortogonalizacja. 4. Izomorfizmy przestrzeni euklidesowych. 5. Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne. 6. Przestrzenie symplektyczne. Ćwiczenia. §2. Przestrzenie unitarne. 1. Formy hermitowskie. 2. Związki metryczne. 3. Ortogonalność. 4. Macierze unitarne. 5. Przestrzenie unormowane. Ćwiczenia. §3. Operatory liniowe na przestrzeniach z iloczynem skalarnym. 1. Związki operatorów liniowych i form θ-liniowych. 2. Klasy operatorów liniowych. 3. Postać kanoniczna operatorów hermitowskich. 4. Sprowadzanie formy kwadratowej do osi głównych. 5. Sprowadzanie pary form kwadratowych do postaci kanonicznej. 6. Postać kanoniczna izometrii liniowych. 7. Operatory normalne. 8. Operatory dodatnio określone. 9. Rozkład biegunowy. Ćwiczenia. §4. Kompleksyfikacja i urzeczywistnienie. 1. Struktura zespolona. 2. Urzeczywistnienie. 3. Kompleksyfikacja. 4. Kompleksyfikacja → urzeczywistnienie → kompleksyfikacja. Ćwiczenia. §5. Wielomiany ortogonalne. 1. Zagadnienie aproksymacji. 2. Metoda najmniejszych kwadratów. 3. Układy liniowe i metoda najmniejszych kwadratów. 4. Wielomiany trygonometryczne. 5. Uwaga o operatorach samosprzężonych. 6. Wielomiany Legendre’a. 7. Ortogonalność z wagami. 8. Wielomiany Czebyszewa (pierwszego rodzaju). 9. Wielomiany Hermite’a. Ćwiczenia. ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE PUNKTOWE AFINICZNE I EUKLIDESOWE. §1. Przestrzenie afiniczne. 1. Definicja przestrzeni afinicznej. 2. Izomorfizm. 3. Współrzędne. 4. Podprzestrzenie afiniczne. 5. Współrzędne barycentryczne. 6. Funkcje afiniczne i układy równań liniowych. 7. Wzajemne położenie podprzestrzeni afinicznych. Ćwiczenia. §2. Przestrzenie (afiniczne) euklidesowe. 1. Metryka euklidesowa. 2. Odległość punktu od podprzestrzeni afinicznej. 3. Odległość dwóch podprzestrzeni afinicznych. 4. Wyznacznik Grama i objętość równoległościanu. Ćwiczenia. §3. Grupy i geometria. 1. Grupa afiniczna. 2. Izometrie przestrzeni euklidesowej. 3. Grupa izometrii. 4. Geometria liniowa odpowiadająca danej grupie. 5. Przekształcenia afiniczne przestrzeni euklidesowej. 6. Zbiory wypukłe. Ćwiczenia. §4. Przestrzenie z metryką nieokreśloną. 1. Metryka nieokreślona. 2. Izometrie pseudoeuklidesowe. 3. Grupa Lorentza. 4. Właściwa grupa Lorentza. Ćwiczenia. ROZDZIAŁ 5. KWADRYKI. §1. Funkcje kwadratowe. 1. Funkcje kwadratowe na przestrzeni afinicznej. 2. Punkty środkowe funkcji kwadratowej. 3. Sprowadzanie funkcji kwadratowej do postaci kanonicznej. 4. Funkcje kwadratowe na przestrzeni euklidesowej. Ćwiczenia. §2. Kwadryki w przestrzeni afinicznej i euklidesowej. 1. Ogólne pojęcie kwadryki. 2. Środek kwadryki. 3. Postacie kanoniczne kwadryk w przestrzeni afinicznej. 4. Uwagi ogólne o rodzajach kwadryk. 5. Kwadryki w przestrzeni euklidesowej. Ćwiczenia. §3. Przestrzenie rzutowe. 1. Modele płaszczyzny rzutowej. 2. Przestrzenie rzutowe wyższych wymiarów. 3. Współrzędne jednorodne. 4. Mapy afiniczne. 5. Pojęcie rzutowego zbioru algebraicznego. 6. Pełna grupa rzutowa. 7. Geometria rzutowa. 8. Dwustosunek. 9. Zapis dwustosunku we współrzędnych. Ćwiczenia. §4. Kwadryki w przestrzeni rzutowej. 1. Klasyfikacja. 2. Przykłady i przedstawienia afiniczne kwadryk rzutowych. 3. Przecięcie kwadryki rzutowej z prostą. 4. Ogólne uwagi o kwadrykach rzutowych. Ćwiczenia. ROZDZIAŁ 6. TENSORY. §1. Wstępne informacje o tensorach. 1. Pojęcie tensora. 2. Iloczyn tensorowy. 3. Współrzędne tensora. 4. Tensory w różnych układach współrzędnych. 5. Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych. Ćwiczenia. §2. Kontrakcja, symetryzacja i antysymetryzacja tensorów. 1. Kontrakcja tensora. 2. Tensor strukturalny algebry. 3. Tensory symetryczne. 4. Tensory antysymetryczne. 5. Algebra tensorowa. Ćwiczenia. §3. Algebra zewnętrzna. 1. Iloczyn zewnętrzny. 2. Algebra zewnętrzna przestrzeni liniowej. 3. Związek z wyznacznikami. 4. Podprzestrzenie liniowe i p-wektory. 5. Kryteria prostoty p-wektorów. Ćwiczenia. ROZDZIAŁ 7. ZASTOSOWANIA. §1. Norma operatorowa i funkcje operatorów liniowych. 1. Norma operatora liniowego. 2. Funkcje operatorów liniowych (macierzy). 3. Funkcja wykładnicza. 4. Podgrupy jednoparametrowe pełnej grupy liniowej. 5. Promień spektralny. Ćwiczenia. §2. Liniowe równania różniczkowe. 1. Pochodna funkcji wykładniczej. 2. Równania różniczkowe. 3. Liniowe równanie różniczkowe zwyczajne stopnia n. §3. Wielościany wypukłe i programowanie liniowe. 1. Sformułowanie problemu. 2. Motywacja. 3. Podstawowe pojęcia geometryczne. Ćwiczenia. §4. Macierze nieujemne. 1. Motywacja ekonomiczna. 2. Własności macierzy nieujemnych. 3. Macierze stochastyczne. §5. Geometria Łobaczewskiego. 1. Przestrzeń Łobaczewskiego. 2. Izometrie przestrzeni Łobaczewskiego. 3. Metryka Łobaczewskiego. 4. Płaszczyzna Łobaczewskiego. §6. Problemy nierozwiązane. 1. Problem Strassena. 2. Rozkłady ortogonalne. 3. Skończone płaszczyzny rzutowe. 4. Bazy przestrzeni liniowych i kwadraty łacińskie. Odpowiedzi i wskazówki do ćwiczeń. Uwagi metodyczne. Pytania egzaminacyjne. Skorowidz.

Dla studentów matematyki, informatyki, fizyki i innych kierunków ścisłych na uniwersytetach i uczelniach technicznych